ลูกสาวโง่เขลาทั้ง 3 คน

กาลครั้งหนึ่งมีครอบครัวอยู่ครอบครัวหนึ่งมีลูกสาว 3 คน ลูกสาวคนที่ 1 ลูกสาวคนที่ 2 และลูกสาวคนที่ 3 ต้องออกไปเรียนหนังสือทุกวันเพราะเป็นคำสั่งของพ่อและแม่แต่ลูกสาวทั้งสามคนไม่ได้ไปเรียนอย่างที่พ่อและแม่ตั้งใจไว้ทุกๆวันลูกสาวทั้งสามคนมีแต่ทำให้พ่อแม่เสียใจเพราะเด็กทั้ง 3 คนนำเงินที่พ่อแม่ให้ไปซื้อของที่ไร้ประโยชน์
ลูกสาวคนที่ 1 ได้เงินวันละ 5 บาท
ลูกสาวคนที่ 2 ได้เงินวันละ 10 บาท
ลูกสาวคนที่ 3 ได้เงินวันละ 12 บาท
ดั้งนั้นลูกสาวที่โฃ่เขลาทั้ง 3 คน ที่นำเงินของพ่อแม่ไปใช้โดยไร้ประโยชน์ ได้เงินรวมกันเป็นเงินเท่าไร
ก.20 บาท
ข.27 บาท
ค.32 บาท
อ่านแล้วลองตอบดูซิว่าจะถูกรึเปล่า

ทักษะการคิดทางคณิตศาสตร์

การคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์



--------------------------------------------------------------------------------
สืบเนื่องจากการประชุมประจำปีของ NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) เรื่อง มาตรฐานหลักสูตรและการ ประเมินผล
การพัฒนาความสามารถในการคิดในการให้เหตุผล และการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เป็นเป้าหมายหลักในการเรียนคณิตศาสตร์ถึงกระนั้นก็ดีมีนักเรียนเป็น จำนวนมากที่ไม่สามารถบรรลุเป้าหมายนี้ด้วยเหตุผลนานาประการ นับตั้งแต่ หนังสือเรียนไม่เหมาะสมไปจนถึงงานที่ได้รับมอบหมายไม่เกิดประโยชน์
การคิดและการให้เหตุผลในคณิตศาสตร์คืออะไร ครูจะรู้ได้อย่างไรว่า นักเรียนได้มีการคิดและให้เหตุผล

กิจกรรมนั้นโดยตัวเองแล้วไม่จัดว่าเป็นการให้เหตุผลและ การคิด การให้เหตุผลเกี่ยวกับสถานการณ์ใดสถานการณ์หนึ่ง เกิดจากการที่นักเรียนได้กระทำอะไรระหว่างที่เขาทำกิจกรรมนั้น เมื่อใดก็ตามที่นักเรียนกำลังตัดสินใจว่าจะเลือกใช้วิธีไหน จะปรับวิธีการต่างๆอย่างไร หรือจะประสมประสานความรู้ที่มี อยู่แล้วจากประสบการณ์เดิมอย่างไร นั่นหมายความว่าเด็กกำลัง คิดและให้เหตุผล แรกเริ่มที่นักเรียนทำกิจกรรมจะเกี่ยวข้อง กับการให้เหตุผลและการคิด แต่เมื่อได้แก้ปัญหาแบบเดียวกันซ้ำๆ นักเรียนก็มักจะใช้แต่วิธีการนำไปใช้เท่านั้น
ระดับ "การคิด" ที่สูงขึ้นกว่านี้เป็นอย่างไร การมองดูอาจ ไม่ใช่ของจริง ท่านจะต้องมองเห็นนักเรียนไม่ใช่มองเห็นครู กระทำการสอน การพูดจาก็อาจไม่ใช่ของจริงแต่ท่านจะต้องได้ยินครู ถามคำถามนักเรียนว่าทำไม อะไรและอย่างไร ซึ่งเป็นคำถามที่ต้อง การคำตอบมากกว่าหนึ่งคำขึ้นไป ท่านจะต้องได้ยินนักเรียนกำลัง อธิบาย คาดเดา อธิบายรูปแบบ ให้ความคิดเห็น หรือสื่อ ความหมายในข้อวิเคราะห์ของเขา

การคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์นี้กำลังจะบังเกิดขึ้น ในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ทั่วสหรัฐ อเมริกา เมื่อภาคเรียนที่แล้ว ผู้เขียนเรื่องนี้ได้ไปเฝ้าดูนักเรียนเกรด 2 คิดเกี่ยวกับจำนวน คุกกี้ที่ครูจะต้องแจกให้นักเรียน 10 คน คนละ 2 ชิ้นต่อวัน ตั้งแต่ วันจันทร์ถึงศุกร์แทนการบอกวิธีให้นักเรียนคิด ครูจะ ให้นักเรียนจับคู่แล้วช่วยกันคิดวิธีที่จะแก้โจทย์ปัญหา นี้ นักเรียนบางคู่วาดรูปนักเรียน 10 คน ในมือแต่ละข้าง ของทุกคนถือคุกกี้ข้างละ 1 ชิ้นในแต่ละวัน แล้วเขาก็นับ จำนวนคุกกี้ในภาพ
นักเรียนอีกคู่หนึ่ง สร้างตารางตั้งแต่วันจันทร์ ถึงศุกร์ ด้านซ้ายเป็นจำนวน 1-10 หาผลลัพธ์ของแต่ ละคอลัมน์ได้ 20 รวม 5 คอลัมน์ได้ 100 บางคู่ใช้เบี้ย แทนคุกกี้ บางคู่นับทีละ 10 สำหรับคุกกี้จำนวนแรกของ วันแรก อีก 10 ชิ้น ต่อไปเป็นจำนวนที่สองของวันแรก และต่อไปเรื่อย ๆ จนถึง 10 ชิ้นสุดท้าย การสนทนาของพวกเด็ก ๆ จะเกี่ยวกับวิธีจะทำ อย่างไรกับข้อมูลที่มีอยู่ และทำอย่างไรจะให้ได้ ผลลัพธ์ มีเด็กคนหนึ่งเขียนแค่ 56+44 = 100 บน กระดาษ ก็ได้รับการร้องขอให้อธิบายว่าคุกกี้เกี่ยวข้อง อย่างไรกับ 56 และ 44 นักเรียนเหล่านี้กำลังคิดและให้ เหตุผลอย่างแน่นอน นักเรียนที่มีวิธีการที่แตกต่างก็รับ ผิดชอบในการอธิบายวิธีคิดของเขาแก่เพื่อนร่วมชั้น เป็นการสังเกตการสอนที่มีคุณค่ามากในความเห็นของผู้เขียน


อีกชั้นเรียนหนึ่งที่ผู้เขียนได้ไปเฝ้าสังเกตคือเกรด 6 นักเรียนกำลังหาอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่งกับเส้น ผ่านศูนย์กลาง กระบวนการนี้เด็กชายคู่หนึ่งได้ใช้กฎการหา พื้นที่วงกลม และได้รับการขอร้องให้อธิบาย คนแรกตอบไม่ถูกเขาตอบว่าถ้าท่านสร้าง สี่เหลี่ยมรูปหนึ่งในวงกลม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปนั้นจะ เท่ากับ อีกคนไม่เห็นด้วยเขา สร้างวงกลมบนกระดานจากรัศมีเขาสร้างรูปสี่เหลี่ยมบน สี่เหลี่ยม ของ วงกลม แล้วชี้ให้เห็นว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม คือ "ถ้าพื้นที่ของวงกลมทั้งสิ้นคือ 4 r2 พื้นที่ก็จะมาก เกินไป จำนวนที่ถูกต้องน่าจะเพียงแค่ 3 เท่าของ รูปสี่เหลี่ยม หรือคือ ซึ่งผู้เขียนคิดว่าเป็น การอธิบายสูตรที่แยบยล
อีกตัวอย่างหนึ่งเป็นนักเรียนมัธยมปลายหลัง จากผ่าน Advanced Placement Calculus Test เมื่อภาคเรียนก่อน ครูจะตรวจสอบเรื่อง ภาคตัดกรวยที่ยากขึ้นกับเด็กที่เธอสอน ก่อนจะลงมือดำเนินการครูได้ให้ดูภาพยนต์แสดงถึงแต่ละภาคตัดกรวยจะมีส่วนร่วมของระนาบและรูปกรวย นักเรียนคนหนึ่งก็ถามขึ้นว่าระเบียบวิธีของส่วนร่วมเกี่ยวข้องกับนิยามของภาคตัดกรวยที่ใช้ระยะทางอย่างไร ครูก็ส่งคำถามให้นักเรียนในชั้นให้ช่วยกันคิด เพื่อหาข้อความคาดการณ์

ผู้เขียนรู้สึกทึ่งมากได้ให้ข้อเสนอแนะไปข้อสองข้อ เมื่อสัญญาณหมดเวลาดังขึ้น โดยยังหาข้อยุติไม่ได้ นักเรียนก็ต้องออกจากห้องไปโดยถกเถียงกันไประหว่างทางว่ากลวิธีใดจึงจะบังเกิดผล ครูก็ยอมรับว่าตัวเธอเองก็ไม่รู้คำตอบเหมือนกันแต่จะไปค้นคว้าต่อที่บ้าน (ผู้เขียนเองก็ไม่ทราบเหมือนกันก็ต้องไปตรวจสอบกับแหล่งที่เชื่อถือได้ต่อไป!) เห็นได้ชัดว่านักเรียนเหล่านั้นคุ้นเคยกับการเสี่ยง คุ้นเคยกับการให้ผลเฉลย และการอธิบายคำตอบ และคุ้นเคยกับการคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ กิจกรรมเหล่านี้ดูเหมือนและรู้สึกว่าเป็นตัวอย่างอันดีสำหรับการคิด และการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์

พื้นฐานของมาตรฐานคณิตศาสตร์ไม่ใช่แค่การมองดู หรือความรู้สึกที่เห็นหรือสังเกตได้ในชั้นเรียน หากแต่ต้องเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจริง เด็ก ๆ ที่ยก ตัวอย่างข้างต้นนั้นได้นำเครื่องมือและกระบวนการ ที่ได้เรียนแล้วมาใช้ประโยชน์อย่างมีนัยสำคัญในคณิตศาสตร์ เป็นการสะท้อนผลการสอนของครู ฉะนั้นขณะที่ท่านวางแผนสำหรับบทเรียนในอนาคต ก็ควรที่จะพยายามหาทางหลายๆทางที่ให้นักเรียนได้มีส่วนเกี่ยวข้อง และไปให้เหนือกว่าขั้นการใช้ทักษะและกระบวนการ พยายามส่งเสริมให้นักเรียนบรรลุถึงเป้าหมายของคำว่า มาตรฐาน คือการคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์

--------------------------------------------------------------------------------
เรียบเรียงจากเรื่อง


Let's Talk about Mathematical Thinking and Reasoning
ของ Gail Burrill ในเอกสาร NCTM News Bulletin ฉบับเดือน January 1998 หน้า 3

บทความคณิตศาสตร์

ความเป็นมาของคณิตศาสตร์


ใครสร้างปิรามิดของอียิปส์ ทำไมปฎิทินของชาวมายาถึงได้มีความแม่นยำ ทำไมถึงส่งจรวดไปดวงจันทร์ได้ แล้วสิ่งเหล่านี้เกี่ยวกับวิชาคณิตศาตร์อย่างไร หรือวิชาคณิตศาสตร์มีไว้ทำไม และ มันคืออะไร ก่อนจะตอบคำถามเหล่านี้ได้ เราลองย้อนเวลากลับไปในอดีตหน่อยนะครับ
ลองจินตนาการว่าตัวเองไปอยู่ในยุค ที่ไม่มีไฟฟ้า ไม่มีรถ และยังไม่มีภาษาเขียนกันนะครับ เราสามารถมองเห็นดวงดาวทุกดวงได้ ในท้องฟ้ายามค่ำคืนที่สดใส มนุษย์ก็เริ่มที่จะสังเกตุ เริ่มนับการมองเห็นดวงจันทร์ โดยการขีดลงบนกระดูก และ หนึ่งขีดก็แทนการมองเห็นดวงจันทร์หนึ่งครั้ง ซึ่งมีหลักฐานของกระดูกเหล่านี้มีอายุอานามถึง 35,000 ปีก่อนคริสต์ศักราช
การขีดเขียนนี้สามารถบ่งบอกจำนวนได้ แต่ไม่สามารถบ่งบอกได้ว่าเป็นสิ่งของชนิดใดหรือ เป็นจำนวนของอะไร แต่มนุษย์จำเป็นที่ต้องสื่อสารอ้างถึงจำนวนของสิ่งต่างๆ และ บ่งบอกด้วยว่าเป็นสิ่งของชนิดใด ปัญหานี้บางชนเผ่าได้ใช้ก้อนดินเหนียว ปั้นเป็นรูปร่างต่างๆ เพื่อแทนของสิ่งนั้นๆ






ก้อนดินเหนียวที่เก่าแก่ที่สุดก็มีอายุอยู่ในช่วง 8,000 ปีก่อนคริสต์ศักราช ไม่นานหลังจากที่มนุษย์เริ่มทำการเกษตรกรรม และ เริ่มมีความจำเป็นในการวางแผนการเพาะปลูก การกักตุนเมล็ดพันธุ์สำหรับการเพาะปลูกในอนาคต ในการวางแผนเหล่านี้ จำเป็นที่จะต้องรู้ปริมาณของที่มีเก็บไว้ด้วย ก้อนดินเหนียวเหล่านั้นจึงได้ถูกนำมาใช้

เวลาผ่านไปนับพันปี สังคมของมนุษย์เริ่มเจริญขึ้น พร้อมกับความซับซ้อนของสังคมของชนเผ่าสุเมอเรียน (Sumerians) จึงได้มีการพัฒนาเหรียญรูปแบบต่างๆ มาแทนดินเหนียว และ ในช่วงเวลาประมาณ 3,300 ถึง 3,250 ปีก่อนคริสต์ศักราช ได้มีการพัฒนาระบบตัวเลขขึ้น โดยใช้การขีดเส้นบนเหรียญ เพื่อบ่งบอกจำนวนปริมาณของๆ ที่เหรียญใช้แทน
หลังจากนั้น ประมาณ ช่วง 2,000 ปีก่อนคริสต์ศักราช ชาวอียิปส์ (Egyptians) ได้ใช้การสังเกตอย่างชาญฉลาด พัฒนา วิทยาศาสตร์ของ ตัวเลขขึ้นเช่นคุณสมบัติของ การบวก การลบ พร้อมกันนี้ยังได้พัฒนา ระบบเรขาคณิต (Geometry) เช่นสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และ ที่สำคัญ ปิรามิด

ท่านฟาโรห์ก็ได้ใช้ความรุ่งเรือง ทางคณิตศาสตร์ของชาวอียิปส์ ในการสร้างสุสารปิรามิด เพื่อแสดงถึงอำนาจอันยิ่งใหญ่ของตนเอง

ประมาณปี 650 ปีก่อนคริสต์ศักราช ก็ได้มีนักคณิตศาสตร์ ชื่อ อาเมส (Ahmes) ได้บันทึกการคำนวณบวกลบเลข หรือ พีชคณิต (Arithmetic) ไว้ในกระดาษปาปิรุส ให้เราได้อ่านกัน ด้วยเหตุนี้ นายอาเมสจึงได้รับชื่อ เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีการบันทึกผลงานเป็น คนแรกของโลก

เช่นเดียวกับกษัตริย์ของชาวมายา (Mayan) ที่อาศัยความสามารถอันเฉลียวฉลาด ทางคณิตศาสตร์ของนักบวช ในการแสดงอำนาจ และ บารมีให้ชนชาวมายาได้เกรงกลัวกัน การแสดงอำนาจนี้ รวมไปถึงการทำให้ท้องฟ้าตอนกลางวันมืดมิด กลางวันกลายเป็นกลางคืน หรือ การบอกช่วงที่ควรเริ่มทำการเพาะปลูก สิ่งเหล่านี้ทำได้ เพราะนักบวชชาวมายาได้ผลิตปฎิทินที่มีความแม่นยำสูง สามารถทำนายสุริยุปราคา และ เหตุการณ์ต่างๆ บนท้องฟ้าได้







ในช่วงปี 500 ปีก่อนคริสต์ศักราช ถึง ค.ศ. 300 ก็เป็นยุคของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก (Greek) วิชาเลขในช่วงนี้ก็ได้นำเอาตัวเลขที่มีอยู่ไปใช้ในการวัดความยาวของสิ่งต่างๆ ทุกคนคงจะรู้จักนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อ ปิทากอรัส (Pythagoras) นะครับ ซึ่งนักคณิตศาสตร์ท่านนี้ ได้วางรากฐานของวิชาคณิตศาสตร์ คือการพิสูจน์ ให้กับพวกเรา

ยังมีนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อดังอีกท่าน ชื่อ ยุคลิก (Euclid) ซึ่งท่านเป็นคนที่วางรากฐานของคำว่า ทฤษฎี (Theorem) ให้กับพวกเรา แต่ชาวกรีกก็พบว่า สิ่งของบางสิ่งไม่ได้มีความยาวตรงตามตัวเลขที่มีอยู่ ซึ่งเป็นการค้นพบ เลขอตรรกยะ (Irrational Number) ตัวอย่างก็คงจะเป็น รากที่ 2 ของ 2 นะครับ โดยสรุป สำหรับชาวกรีกแล้ววิชาคณิตศาสตร์ เป็นวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับตัวเลข (Number) และ รูปร่าง (Shape)

วิชาคณิตศาตร์ได้รับการพัฒนามาเรื่อยๆ จนกระทั่งช่วงเวลาประมาณกลางศตวรรษที่ 17 นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ชื่อ นิวตัน (Newton) และ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อ ลีนิส (Leibniz) ต่างได้คิดค้นวิชา แคลคูลัส (Calculus) ขึ้นมา ซึ่งทำให้เราสามารถศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุต่างๆได้ ทำให้เราศึกษาการเปลี่ยนแปลง การไหลของน้ำ การตกของแอปเปิ้ลได้ และวิชาแคลคูลัสนี้ได้ถูกนำไปใช้ในการศึกษาการเคลื่อนที่ของดวงดาวในวิชาฟิสิกส์ หลังจากยุคนี้นักคณิตศาสตร์ก็ศึกษาเกี่ยวกับตัวเลข รูปร่าง การเคลื่อนที่ (Motion) การเปลี่ยนแปลง (Change) และ อวกาศ (Space) ด้วยวิชาแคลคูลัสนี่เองที่ทำให้มนุษย์ สามารถส่งจรวดไปยังดวงจันทร์ได้ หรือ แม้กระทั่งการปล่อยให้ดาวเทียมลอยอยู่เหนือโลกได้

หลังจากยุคนี้ วิชาคณิตศาสตร์ได้เปลี่ยนแปลง และ พัฒนาไปอย่างรวดเร็วมาก และยิ่งมีคอมพิวเตอร์มาช่วยในการวิเคราะห์ ยิ่งทำให้ค้นพบสิ่งต่างๆที่ซับซ้อนเพิ่มขึ้นมากมาย

วิชาคณิตศาสตร์ที่เราได้เรียนยังเป็นเพียงส่วนหนึ่งเท่านั้น ซึ่งบางคนที่ไม่ถนัด ในวิชาเหล่านั้น อาจจะเกิดความกลัวในวิชาคณิตศาสตร์ไปเลยก็ได้ แต่ยังมีวิชาคณิตศาสตร์ที่สนุก ง่ายต่อการเข้าใจ และ มีประโยชน์อีกมากที่เรายังไม่เคยเห็น ไว้คราวหลังจะนำมาเสนอให้อ่านกัน แล้วจะได้รู้ว่าวิชาคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ และความสวยงามนั้นเป็นอย่างไรนะครับ ก่อนจากกันขอฝากคำถามให้คิดกันหน่อยนะครับ เราก็ได้เห็นแล้วว่า ตัวเลขจำนวนนับเกิดขึ้นได้อย่างไร อยากให้แสดงความคิดกันหน่อยนะครับว่า ตัวเลขลบเกิดขึ้นได้อย่างไร.


--------------------------------------------------------------------------------
ชื่อเรื่อง : ความเป็นมาของคณิตศาสตร์
กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์
ผู้จัดทำ : วิชาการดอทคอม